Réflexions métaphysiques
D’après Gaston Bachelard, la connaissance est une conséquence de notre perception de l’espace et du temps. Nous voilà en présence d’un couple de réalités (espace, temps).
L’informatique accomplit ses exploits en mettant en mouvement le couple (0, 1).
Un arbre part de quelques racines convergeant vers un même tronc, qui ensuite se divise en 2 branches, chaque branche se divisant à son tour:
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/ \
La cellule, pour se multiplier, passe par un processus dans lequel elle se divise le plus souvent en 2.
Le problème à 2 corps est un modèle théorique important en mécanique classique (mouvement Képlérien) aussi bien qu’en mécanique quantique (atome d’Hydrogène).
En algorithmique, on est toujours très content de trouver une façon de diviser par 2 pour parvenir à une résolution en temps logarithmique d’un problème, la meilleure performance qu’on puisse obtenir sur des problèmes connus pour n’être pas triviaux à résoudre.
En physique théorique, on est toujours à la recherche de la symétrie, qui implique en général 2 parties.
Le corps humain et même celui des animaux possède plusieurs parties couplées.
En géométrie, les problèmes de la construction des figures à la règle et au compas (2 artefacts) ont conduit à de nombreux théorèmes dans les mathématiques de façon générale.
Les nombres pairs (divisibles par 2) forment la moitié de l’ensemble des nombres entiers naturels.
Bref, il existe une multitude d’occurences du concept de 2 dans la nature, d’oú l’importance de saisir 2 et tout ce qui s’y rapporte mathématiquement.
La naissance du nombre
2 est peut-être à l’origine du concept de nombre. Prenons un exemple:
Dans un village de la forêt équatoriale, grand père Zamba a cuisiné une marmite de ndolè avec de gros morceaux de viande pour ses petits enfants. Il ne souhaite pas faire de jaloux parmi eux, alors il cherche une façon équitable d’associer chaque enfant aux morceaux de viande.
Qu’avons-nous là ? 2 ensembles: les petits enfants de Zamba et les morceaux de viande de sa marmite. Qu’aurons-nous comme résultat de cette opération ? Un couple (enfant, quantité de viande), soit 2 éléments. Et comme le but initial de Zamba c’est de ne fâcher aucun de ses petits enfants, il doit compter les morceaux de viande qu’il donne à chacun. D’où l’invention du concept de Nombre pour pouvoir raisonner sur les quantités de choses entre autres.
On voit donc comment la nécessité d’apparier des éléments d’ensembles différents (2 dans notre exemple, l’ensemble des petits enfants et l’ensemble des morceaux de viande de Zamba), de les faire correspondre les uns avec les autres, ou autrement dit de les organiser, entraîne l’invention du concept de nombre, ou plus exactement de nombre de. Pour moi, cela est un signe de l’importance du…nombre 2 ;).
Représenter un nombre
Une fois que les nombres font partie de notre monde mental, il faut trouver une façon de se les représenter et les présenter aux autres pour pouvoir s’en servir de façon systématque, puisqu’il s’agit avant tout d’un outil. D’où la naissance de la numération, qui est un mode de représentation des nombres. La numération est donc quelque chose d’essentiellement subjectif, attaché à une personne (mais ce n’est pas bien pratique sauf pour la personne elle-même) ou plus couramment à un groupe de personnes (et donc à une société), bien qu’universelle dans son principe. On va donc chercher une façon d’atteindre les sens humains pour transférer le concept de nombre d’un cerveau à un autre. On choisit pour cela des signes, mots ou gestes (notez le rapport aux sens de chacune de ces notions) qui représentent des nombres, et on conçoit des règles permettant de passer d’un nombre à l’autre, de les combiner, etc. On se retrouve donc avec un système de numération. Nous regrouperons les signes, mots et gestes représentant les nombres sous l’appellation symboles, en rappelant que les symboles qui servent à représenter les nombres à l’écrit sont appelés chiffres.
Un système de numération repose sur une base, qui peut être comprise comme la quantité de symboles distincts qu’on peut utiliser pour représenter les nombres dans le système de numération en question. La practicabilité d’un système de numération repose sur cette base, car elle détermine la grandeur des quantités qu’on peut manipuler facilement dans ce système. Plus petite est la base, plus difficile il sera de distinguer les nombres entre eux à mesure qu’ils sont grands.
La base
Eliminons tout de suite le cas d’une base 0, qu’on peut traduire littéralement en: aucun symbole n’est utilisé pour représenter les nombres. Il n’y a donc rien à faire.
D’où il est légitime de penser que le premier système de numération qui a été utilisé par l’Homme est celui basé sur 1 symbole, le système unaire, qu’on a tous appris à l’école:
1 bâtonnet plus 1 bâtonnet égale 2 batônnets
Chantait-on à l’âge de 3 ans ;). Par ailleurs, à ce qui paraît, on a retrouvé des traces de l’utilisation de ce système de numération dans l’actuelle République Démocratique du Congo, qui daterait d’il y a 20000 ans.
Si on rajoute un symbole (un chiffre) au système unaire, on obtient le système de base 2 ou binaire, et nous voilà qui entrons dans le monde de 2 encore une fois.
Le système binaire est celui qui donne aux ordinateurs leur puissance de calcul supérieure à celle de l’humain moyen. C’est un système très bien adapté au matériel utilisé pour automatiser les règles de calcul du système de numération décimal. Ce dernier est celui qui possède 10 chiffres, donc il est de base 10. C’est celui que nous utilisons chaque jour, et qui est probablement né du fait que nos 2 mains nous permettent naturellement de représenter 10 nombres au plus, en mettant nos doigts bout à bout. Les symboles (chiffres) utilisés dans ce système de numération, tels que nous les connaissons aujourd’hui, nous proviendraient tout droit du monde antique, héritage des indiens et des arabes. Il semble bien plus pratique que les systèmes de numération utilisés avant sa naissance pour raisonner sur les nombres, surtout les plus grands. On le sait car le développement des mathématiques a connu un essor inégalé dans le passé à partir de l’introduction du système décimal et des chiffres indo-arabes.
Nous disions tout à l’heure que le système binaire est adapté au matériel utilisé pour l’automatisation des règles de calcul. Il s’agit des dispositifs électroniques, fondés sur le mouvement des électrons, mouvement qui cause le passage d’un courant électrique dont on sait détecter la présence ou l’absence. Soit 2 états, dont on fait correspondre l’ensemble qui les contient avec l’ensemble des chiffres binaires {1, 0}. Cela permet d’abstraire la physique des électrons par les nombres. On peut donc appliquer les règles du système binaire, et par réduction du système décimal en système binaire, on parvient à automatiser les opérations usuelles. C’est là le secret des ordinateurs. La vitesse de leurs opérations tenant au fait que les 0 te les 1 sont en fait l’absence ou la présence du courant électrique ou déplacement des électrons, ces derniers se déplaçant à la vitesse de…la lumière. Voilà tout l’aspect pratique du système binaire: la vitesse de la lumière.